小王子这本书一直试图告诉我们一件事：人一长大，就再也没有能力了解孩子的世界。连带地，我们也警觉不到孩子是用另一种方式在看世界的。尤其在小学阶段，我们急着想看到孩子在功课上的成绩表现，希望藉此确定他未来在社会上有优势的竞争力，并从而或者解除我们的焦虑，或者强化我们的虚荣心。

因此，一方面小学阶段许多攸关孩子一生幸福的成长空间被挤压了，另一方面我们又经常用错误的评量标准在决定哪个孩子（或孩子哪方面的能力）较值得栽培。结果，攸关未来的能力被荒废了，没必要的繁琐细节又过渡地被强调了；值得被栽培的小孩被父母伤害了，得宠的小孩却又被误导了。如果我们不能从较宽广的视野来重新给小学阶段的学习与成长定位，我们所有的努力只是在戕害小孩；如果我们不能跳出成人世界习惯的成见，我们永远找不到小学教育的方法。

一、 从终生学习看小学教育

很多人不再那么看重小学教育了，好像初中联考一废除，国小就变成一个多余而无所适从的单位与成长阶段，因此，一方面才艺班和英文班吸引了更多家长的注意力，另一方面，小学教育阶段的成长目标却变成了一片空白。

一位同事告诉我：反正国中起她们就要面对地狱般的生活，现在只要让她们快乐就好！但是，小学还同时是培养孩子人格雏形的阶段。荒废了小学阶段孩子人格雏形的培养，长大后或许就来不及了。因此，我们必须把眼光拉远，从更长远的教育观点着眼，回过头来看小学阶段的成长与教育目标。

从一位大学教师的观点来看，我对今天国内最优秀的研究生感到既忧心又失望。孙运璇大学一毕业就当了黑龙江发电厂的厂长，现在的博士生甚至都要拿到学位了，情感与人格的成熟度却还像青春期的小孩，不够成熟，不够有担当。而大学部的学生好像绝大部分都掉到一种二元法的分类里：要不然就是认真读课本，要不然就是打电玩、玩论坛、追女朋友，一付无所是事的样子。

许多人都发现：现在的学生，除了别人要他做的事之外，从来都想不出自己要做什么；除了应付功课的能力之外，好像其他的情感能力和人格内涵都严重地欠缺开发。许多小孩都变成了「草莓族」：看起来鲜红可爱，随便捏一下就烂得汁液遍地；而所谓的「高材生」，知识技能远比我们当年发达，十几岁就会自己组装电脑，可是对人生的理解与想像，却空洞得可怕。

有时候我看了不忍心，想引导他们一些人生观念。一些最「认真进取」的学生竟然会说：「老师，我选你的课是因为课表上写着『控制系统』。如果你想谈别的话题，可不可以另外找时间。我觉得你这样上课不讲正课，有点对不起想学的学生，也对不起纳税人的钱。」

后来，我干脆到通识教育中心开「科技与人文」的课，只讲给想学的人听。没想到，许多我在高中时早已清楚的观念和课外书，对他们而言却非常玄奥。更糟的是，即使我每学期都当掉将近三分之一的人，还是有人在这种选修课里睡觉。我只能承认：人的价值观在高中就已略具雏型，到了大学，他们只会根据既有的价值倾向去选择哪些话要听，哪些话不听。到了大学，才要一个人开始去思考人生的问题，实在太晚了。一个高中毕业时还没有一点点热情的人，我没有能力教！一个对人生没有任何憧憬的人，你能寄望他在大学里面培养出什么样的理想？

可是，假如一个小孩到了国中毕业时还不曾喜欢过任何东西，他到高中时又怎么可能培养出最起码的热情，和对于人生的憧憬？由此倒推，我不得不认定：我们必须在小孩子小学毕业以前培养出他对人、动物和大自然的情感，以及对自己最起码的信心；以这些情感和自信为基础，他才有机会在国中阶段藉着简单的文学作品（诗歌、散文）去进一步深化他对这个世界的情感，并且去丰富他对人生的想像；也只有当他内在情感较丰实，对世界与人生的想像较活泼以后，他才有机会在高中阶段藉着传记、小说、历史故事与粗浅的哲理文章的引导，发展出对人生初步的憧憬，并且学会藉着前人的心路历程去思索自己的未来。

这样子培养出来的高中生，他对人生所知虽然有限，但却有很模糊而宽广的憧憬，以及从小培养起来的热情，这样子他才能够冶游于大学所提供的宽广知识领域，从中寻找最适合他发展的一条路。否则，大学教育其实只是一种浪费。

可惜的是，我在大学所看到的，是学生一届比一届空洞。仔细寻索这些现象背后可能的原因，我发现：在高中毕业以前我花在思考自己的问题的时间，远比现在的许多硕士毕业生还长。他们从小就忙着功课、电视、电玩、旅游、才艺班，从小就在父母的安排，和商业产品的诱惑下过活，哪有时间静下来为自己想一想？一个没有机会为自己想一想的学生，一个在求学过程中从来不曾因为听到哪一段话而眼睛亮起来的小孩，你要如何期待他有自己学习的意愿？你要他如何对人生有所憧憬？你要他如何成熟起来？

说穿了，大学教的是聪明的学生，这种学生只要给他时间和学习动机，他什么都可以自己学得会；可惜的是，大学重新给学生学习动机就太晚了。

小学老师呢？其实他们可以发挥的空间非常的大，只不过在过去被刻板的教育目标和教材所限制而已。

在过去的教育传统下，小学教育过度注重知识性的细节，而且不太容许小孩有犯错的机会。我觉得这是一种浪费。就知识的教育而言，小学阶段的任务根本不应该太吃重，只要足以应付中学的课程需要就可以：写写国字，会一些简单的计算，其它科目学会多少似乎都没有多大的关系。我总觉得，国小阶段不需要注意过多的细节，算数只要观念对，不小心计算错的毛病上国中后再更正就可以。国文偶而写错别字，虽然麻烦一点，但是也没必要要求到一字不误的程度。

我太太是一位国中老师，注意到国中国文课本的难度降低了，结果有些老师就要求学生错一个字也不可以。我总觉得，这是一个不恰当的发展方向。与其每年学五百个新字词，但只容许学生有十个以内的错误，还不如每年教一千个字词，但容许学生有一百个疏漏。这样子，不但真正学会的新字词数目更多（九百比四百九十），而且更容易（因为容许有较高的犯错率）。其实，人不是机器，谁不犯错？尤其是国小阶段，犯错更是难免。小孩犯错，有时候真的是笨，有时候却是太有想像力，老是想到一些老师预期不到的问题上去。

我儿子第一次月考作弊：抄同学的答案。回家我问他原因，他说老师要他们认真写，会的要写出来，不会的也要用心想一想。他不想让老师觉得他不认真，考卷没写完，所以不会的就问同学。我们才知道：他根本不知道什么叫「考试」。大人被社会规范一再「制约」，面对各种规矩，总觉得天经地义的只有一种理解的可能性；但是对小孩子来说，所有的规范他都不懂，所以他仍保有一切我们无法想像的理解方式。所谓的「犯错」，有时候只不过是他对事情有跟大人不同的理解而已，既不必然意味着低能，更不必然意味着「顽强」。所以容许他一些犯错的空间，只要不致于变成「骄纵」，他反而可以更放心地在和大人互动的过程中学得更宽广的知识；如果完全不给他犯错的空间，反而会让他或者过度紧张而无所适从，甚至焦虑过度而退化，或者干脆变得被动而死板。

我从小学就大量地乱读书，在没有人可以问的情况下，许多书都半懂不懂地读下来。书读多了，很多字词从没查过解释也知其大意。到高中阶段，不看注释就能轻松地读唐宋文，甚至可以读秦汉文。因此，作文和阅读的能力远远超出同年级的同学，是国文办公室公认的才子。但是，我却因为从来不肯背解释（甚至很少去看），所以考试时老是东扣一分西扣一分的，在班上从来不曾进入前三名。这个个人的学习经验让我体会到：过份强调「不犯错」的能力，其实只是逼迫学生耗费庞大精力，在琐细无用的支节上。还不如让他们省下这些精力，去奔驰在更宽广的未知世界，让他们学着如何忍受半懂不懂的不安，靠自己的能力在无涯的知识领域中摸索前进，这对他们的未来才更有用。

譬如，我从小养成广泛略读的习惯后，不知不觉中也养成不畏艰难，不怕一知半解地，自己抢在学校进度之前去念一些让自己好奇的书的习惯：高一的时候念遗传学和原子物理，大学时跷课到文学院图书馆念哲学的书，都是小时候读书习惯的延伸。后来，去剑桥念博士之前，就已经以自修的方式把相关文献读完，整理清楚，也是这个习惯的延伸。

反观现在的大学生，自己不会找参考书，讲义写漏一段就不知道如何靠自己补全，给他一本课外书就完全无从读起，我只能说：这些小孩还没学会自己读书，因为他们一辈子只读过别人整理好的资料和讲义。这样的学生，念硕士时一碰到专业论文，就完全不知道如何面对。每次碰到这种状况，我就感慨：这些小孩都已经大学毕业了，还不懂得什么叫「自修」。假如什么东西都要人教才会，这个社会怎么指望下一代会比上一代更有希望？ 　 国小教材的学习目标是在绝大部分学生（弱智除外）都可以学会的，而稍微聪明一点的学生，当然是轻轻松松就可以学会。表面上看起来，国小教育很没挑战性。但是，国小教育的目标根本不应该设定在「知识学习成效」（懂多少字，计算会几题等），而应该设定在「获得知识的过程与方法，以及对知识的态度」。譬如，如何培养孩子主动的读书意愿（所谓「快乐地学习」，还不如说「主动的学习」），和克服困难去自己找资料、发现答案的能力，就远比「知识的记诵与熟练」更有价值。

一个小孩如果能够养成主动的学习意愿和自修的习惯，即使到了工作以后，他可以继续找寻对自己有益的书去看，这远比念完台大，却一辈子再也不愿读书要强、反之，如果在「知识的记诵与熟练」过程中养成被动、功利（读书只为了被夸奖、出人头地，乃至于把别人踩在脚底下）的习惯，他这一生恐怕永远没有机会把书上读到的东西，拿来反省自己的人生观、价值观，也没有能力考虑到社会的公平与正义。这样的人，即使成就令人羡慕，也注定一辈子不会真正被身周的人喜爱。

即使是人文的学者，我也经常发现：他们人文的「知识」很发达，却从来都很少用学来的人文知识去调整他们自己的生活态度。好像这些人从小就已经学会一种对知识的态度：理论归理论，生活归生活，两不相干。同样地，理工科的学生也经常被企业界诟病：他们的知识很丰富，却只会拿来解习题，而不会拿来解决工作上真正发生的问题。

会出现这种情况，考试与学习成效的评量方式要负起很重大的责任；而父母和师长对形式化的成绩过于重视，也是重要的影响因素。大家都太忙，忙得没有空认真去看孩子学会什么，学不会什么，只是一味地看成绩：成绩好的小孩就聪明，成绩好的班级就表示老师出色。大家都只看表面的东西，小孩当然从小就只会学表面的东西。一个从小被训练成只注重表面事物的人，长大后如何期盼他不言行相悖，爱慕虚荣，推诿卸责？

很多人只在意国小的教材简化了，功课轻松了。但是，减轻学生功课负担的目的，应该是为了让他们有更多尝试错误的机会和时间，让他们有机会在大人硬梆梆的规矩和期望之外，探索一些未来可能会让他们感兴趣的东西，也让他们逐渐找到面对书本和知识的健康态度。这些对知识的态度（为自己而读书，为了使生命更丰富、更有内在的光采而读书，为了「自得其乐」而读书），以及获得知识的方式（即使没有人引导也敢自己去摸索），严重地影响着学童未来的发展。真的是一旦错在起跑点上，未来一生的努力将只是在扩大这个错误。如果我们忽视了这些教育目标，只在乎学习成效（更悲惨的是简化为「考试成绩」），或者抱持「反正他以后迟早要被联考折磨，所以国小只要快乐就好」的态度，那我不如果不是在荒废他们的成长阶段，就是在扭曲他们。

不过，知识的学习并不是国小教育唯一的目的。至少一样重要，甚至于更重要的，是要培养他们对人和对自己的态度。

小学童对人的是非好坏其实是很清楚的，是大人的言行不一把他们给教坏了。我女儿国小的时候就很清楚哪些老师真心对学生好，哪些老师只是在讨好学生，而哪些老师又没爱心。但是，大人却经常在无意间流露出对成绩的关心，表现出对较低社会阶层的轻蔑或不屑，表现出对虚荣的爱慕。你说什么小孩不一定会懂，但是你爱什么，看不起什么，他们却一清二楚。

如果家长和老师没有诚意，再好的课本也发挥不了什么作用；如果家长和老师真有爱心，对孩童的未来真的是功德无量。其实，老师有没有爱心，有没有偏见，有没有歧视，才是国小老师是否适任最重要的指标。我回忆国小阶段，记得的只是老师对学生的态度，他们教得好不好，却一点印象也没有。

学童是从别人对他的疼爱和态度上的肯定，来决定自己要如何看待自己（自信，肯帮助别人；或者自私、自暴自弃）。一个好老师可以用他的爱心救起无数个被社会遗弃，即将以暴力还击的学生；一个有偏见、没爱心的老师，却可以把一个健康活泼的小孩逼上绝路。

如果我们在乎小学阶段的「人格教育」，我们必须体会到这个教育目标的艰难，如果没有家长的充分支持与配合，根本无法达成。譬如说，如果有家长坚持要小孩在学校就开始锻炼「把别人踩在脚底下」的斗争能力，那么不但老师无法管教这种学生，其它同班同学也将成为别人练习的箭靶。

二、教他活得更有「味」

谈完知识的学习和人格的教育，对我来讲，还只是小学教育的三分之二。最后一个主题，但不是最不重要的，就是情感教育：欣赏大自然，爱惜小动物，以及藉着音乐、绘画、舞蹈来发舒情感或情绪的能力。

人活着，如果没有了热情，生命还有什么味道？人活着，如果没有了热情，那和木乃伊有什么差别？人活着，如果没有了热情和理想，而只有野心，那又和野兽有什么差别？可怕的是：我们的教育体系培养出来的，却多半是没有热情和理想，顶多只有野心的「空洞的人」。

人没有了热情和理想，不只是可憎，也是种自残。就像第一讲所提到的，人活着靠的是意义感，但意义感来自人的热情与理想。没有热情和理想的人，只能用野心去包装他的空虚和恐惧。

当然，我们不可能去和国小学童谈人生的大道理。但是，大学生如果可以被激发出一点理想来，首先他必须先在中学时代就培养出足够的热情。但是，中学生可以有热情，其实是国小阶段就该萌芽了。如果国小学生从来都没有见过大自然，没有在大自然中体会到独处的喜悦，他们不会甘于寂寞，而会去创造自己的快乐：电玩、电视、逛街、漫画，再无聊的刺激都好。可是，孩童天生是有能力从大自然、小动物中培养出较细腻、安静、自得其乐的快乐的。

如果我们带他们去看海边的沙蟹，他们可以疯了似地玩一整天都不想回家；甚至于没有任何生物，只要有一堆沙和海水，他们就可以玩到天黑都不想回家。这样子地长大的孩子，以后你要教他「快乐不一定要用钱买」，他很容易就可以懂；不曾有过这种童年经验的都会小孩，要教他「不费钱的快乐」是不可能的──明明他一生的快乐都是用钱买的！孩子是充满好奇心的，只要有适当的引导和机会，他们么都可能会喜欢，甚至还可能很投入。

带他们到山上去玩溪流，到新竹县郊区看客家建筑，说不定他们长大后的业余嗜好就是登山、摄影、地方文史或建筑，甚至于这些兴趣说不定就发展成他们一心一意要从事的职业。兴趣愈广的人，他未来的一生愈亮丽、开敞、宽阔。书没读好，中学时候还来得及补救；小学毕业时沾染上无聊的嗜好，或者对任何事物都没有兴趣，要期望他以后有热情就很困难了。

对于各种艺术的兴趣或才艺的培养，能在小学阶段就开始最好。儿童的音感，六岁以前必须开始训练，否则愈大愈难培养。很多人让孩子上才艺班，却不知道为的是什么。等到小孩子艺术方面的兴趣真的超过对功课的兴趣时，却又慌乱起来，怕小孩功课不如人。

对我来讲，艺术不是一种「内在美容」的手法，也不是社会地位的象征。艺术所以重要，首先是因为它是人类可以用来表达情绪的有利工具。每次看到南美黑人连在教堂唱圣歌都会身体随着韵律摆动，我就既羡慕又感慨：从什么时候开始，我们竟然变成没有能力抒发内在情感的族群？

启发人类情感的最有利环境，一是大自然，一是艺术与文学。大自然没有言语，但是细心去体会的人，却可以在大自然的各个角落里，感受到能令人整个心灵都舒展开来的那种喜悦和饱足：在春天温润的空气里，秋天清澈透明的光线里，相思林和木麻黄的姿态里，从林间撒落下来的阳光里，西风咆哮而过树林，溪边迎向暮霭的秋芒，夏日午后随着凉风而来的荷香等等。我们如果能够培养下一代欣赏大自然的能力，他们一生可以得到的满足，将远胜于单纯的金钱收入。

但是，艺术的直观，不单纯是与生俱来的天分，而是先天禀赋加上后天的学习。绘画有绘画的语汇，音乐有音乐的语汇，虽然他们是人类共通的语言，但是它们却自成一格，和文字语言的表达方式完全不一样。如果我们对线条内在的情绪不敏感，对色彩和肌理背后的情绪不敏感，我们还是很难感受到绘画背后的涵意。如果我们对旋律线里节奏的松紧情绪不敏感，对于不同声部间的对位关系不敏感，我们照样很难体会音乐较深的一面。当然，要培养出一个人对艺术的敏感力是需要时间的，也没有说非从国小开始不可。但是，愈早开始，总是多给小孩一个机会。

说了这么多中小学生可以有的成长空间，也许你有机会可以体会到我为什么对「资优教育」那么痛心疾首：这根本是对资赋优异生的残酷刑罚！一个小孩如果比同班同学聪明，学习速度快，这不正好给他一个良好的机会，可以轻松地对付完体制教育的基本要求后，有很多心力去探索人类更宽广的各种精神活动领域，去培养他自己更宽广的视野和胸襟吗？但是，就只因为他的学习速度比别人快，所以他就朦朦懂懂地被家长和老师诱拐去念资优班，从而把他的心灵更紧密地封死在特定的狭隘角落里，用更艰难的课程去捆绑他，让他更加没有机会用自己的方式看到更宽广的世界。

资优教育的理论是说：学习速度快的小孩逼他和同龄小孩学是一种惩罚。真的吗？我小学三年级起就莫名其妙地自己发展出一套解各种联立代数方程式的图解法，可以轻易地讲清楚各种应用题的解题观念和过程，所以五年级起就开始替数学老师上课。

因为从很小就学会自修，所以初中阶段起就几乎上课都心不在焉，回家边看电视边念书就可以把考试给考好。但是，我从来上课都不无聊：雨天看着窗外的雨滴发呆，春天享受窗外送进来的暖意，秋天时在英文课本下偷藏一本唐诗，这样上课好惬意。学校功课通常都在学校就做完，一放学就到田野、溪边、海边去玩，去体会文学作品里的「诗意」。在那个没有「资优教育」的时代里，很多聪明的小孩都发展出比旁人更宽广的视野与兴趣。我一直以为：资优的最宝贵处正在于此。

但是，目前的资优教育根本没有扎实的教育哲学理念当基础，只会把人当作吸收知识的工具，甚至当作知识竞赛的工具，盲目的只想突破美国小孩罗杰创下的纪录（好像是十二岁大学毕业）。结果，实验中学资优班吸收了许多从小接受「资优补习教育」的「资优生」。他们从小在父母「投机取巧」的教育模式下，写过一大堆智商与性向分析测验卷，解过一大堆物理和数学的参考书题目，进了实验高中资优班，也只是提前念一些从大学课本简化了的教科书，从小到大不曾被培养过更有创意的思考。

只是比别人更早念完几本书就叫做「资优」？这是「特殊教育」？还是体制内的补习教育？这样毕业的学生，在物理和数学领域里面真的会比别人更有创意吗？这样地把小孩子给封闭在极其狭隘的知识领域里，完全不顾及他完整的人格成长，甚至还让他牺牲了同侪关系，以致一路走来人格与情感的发育极其幼稚而不成熟。这能说是对受教者好吗？还是在剥削受教者的成长空间以便满足其他人的虚荣心和见不得人的野心？这样的教育连正当性都没有，还值得鼓励吗？

这真的是一个价值错乱到连无耻都不自觉的教育现象！我亲自教过资优班出身的学生，极其聪明，却无法忍受没有掌声的岁月。资优教育不但辜负了他，甚至戕害了他，让我不得不义愤填膺！

三、从孩子的观点看教育

小学生所以难教，不能单纯地只是以为他们「不懂事」。有时候，小孩子之所以没有办法「守规矩」，是因为大人已经在被社会制约的过程中丧失掉太多人的可能性，而小孩子却还保有这些可贵的可能性。譬如，我们一般大人只要拿起画笔，就只会想到要画一张「很漂亮」或者「很逼真」的画，而很少人会想要去画自己内在最真实或「不吐不快」的感受，因此画出来的东西经常毫无感情，死死板板的。但是，小孩子却因为还没有被制约过，对「画画」是什么意思，没有定见，因此往往会率性地画出对象给他印象最强烈的部分，而忽略其它不曾引起他任何感觉的细节。

因此，当他喜欢妈妈看他的眼神时，他可能画出大大的眼睛，而忽略了鼻子和耳朵。就艺术创作的理念来讲，绘画本来就不是在「写实」地画一个你没感觉的对象物，而是在画你对它的「感觉」，因此忽略掉没有感觉的细节，才符合绘画上的「真诚」。由於小孩子这种天真里有大人早已遗忘的可贵情感和本能，因此德国抽象主义画家保罗．克利就特别重视从儿童绘画去汲取他的灵感。

大人常常用过度社会化的眼光去看小孩子的世界，因此忽略了小孩子可贵的地方。小孩子在学习上的表现，有时候反应的不是他天分的高低，而是他接受社会制约，放弃非社会性本能的快慢而已。

一般来讲，学习表现好的小孩天分通常都不错，可是这里头也有一部分是因为自己没有独特的坚持与创意；学习表现缓的小孩天分往往较不出色，但其中也有一部分是特别有创意，思考比大人灵活，因此很难习惯于一种事事都有成规的僵硬体制（爱因斯坦显然就是这种例子）。

因此，当我们在引导小孩子进入成人社会的过程中，必需注意到两件事：其一是不要在引导小孩进入成人社会的过程中，轻率地截除了他们成规之外的创意；其二是不要粗率地去判定小孩的愚、智、优、劣，或者替他们决定他们未来有没有足够的天分往某个方向发展。

我儿子国中的辅导老师自信满满地用智力测验、性向测验、国小以来的笔试成绩告诉我：「你儿子在数学这一科的天赋很差，以后注定是表现平庸的人。」可是，她完全忽略了我儿子从小没有家教，没有补习，没有参考书，完全自修，欠缺计算的熟练度这些特质。国三时，我要儿子逐章自己整理国中数学讲给我听，我再问问题直到他能讲解清晰，理路严谨为止。这样训练半年以后，他在高中联考的数学成绩已经相当不错，大学联考时则以数学取胜。

小孩子是未经社会制约的有机生命，他用我们无法彻底了解的方式在感受这个世界，用他自己摸索出来的方式在接受外界的刺激和回应外界，他有他自己因人而异的成长节奏和次序，绝对不是我们可以准确预期和严格地加以规范的。因此，教育不能用福特汽车的量产模式来进行，也没有办法用工业生产的品管程序来检证教育成效或者一个孩子的学习成效与学习能力。

面对孩子，我们只能不怀主观地给他所有可能的教育机会，而不要去判定谁有希望或谁没有希望。因为：你永远不会知道，在什么时机，在什么场合，你会因为那一句话，或那一种神情，对那一个人，造成那一种影响！教育不是撰写电脑程式，也不是在训练狗。狗都有它的意志和不可改的习性，何况是人。我们不应该期望小孩巨细靡遗地接受我们所有的要求，也不应该期待他们随时都能符合我们的节奏。只要不致於太影响到整个班级的进度和秩序，每个小孩都应该多少容许他一些出入和犯错的机会。

不幸的是，许多父母都把事业上那一套「投资成本效益分析」的僵固心态带到家庭教育，也用来逼迫学校老师走回升学主义的老路。

我经常听到自以为是菁英的人用这样的方式谈他自己的孩子：我们家老二比老大聪明，老大学什么都慢，以后只要勉强大学可以毕业就好了；倒是老二，我们很有信心，以后念什么都行。

听到这种论调，我总为他们的孩子悲哀。老大总是会感觉到父母对弟弟的期望的，但是叫一个孩子在这种宣判下活着，情何以堪？其实在我眼中，那个老二只不过比较精灵和会讨好人，会专心用成绩来换取父母的疼爱，却看不出有更多的才华或深思的模样。倒是那个老大，有责任感，很会关怀同学，独立性很强，而且一点也不笨，我甚至还觉得老大比较深思，比较有机会发展出属于他自己所关怀的学问呢。如果这两个小孩要我挑一个当未来的研究生，我要那个独立性强而肯为自己读书的老大；至于那个为了掌声而读书的老二，我实在不知道他的聪明哪些会开始转为投机，而掌声停止的时候他又靠什么活下去？

我们所有衡量小孩的方式与标准，全是社会既定的那一套学习与成就标准，它所考虑到的只是对既定规范的「学习能力」，顶多只能反映「升学竞争能力」而已，根本不见得能反映出孩子的创造性、独立性、主动思考等能力。至于与经济生活无关的人文与社会思考能力，根本就不曾认真发展出一套合适的评量标准，只是被粗糙地归纳在「语文学习能力」这个项目里头。

用既有的学习评量标准，不要说没有能力评估出孩子未来在艺术、人文与社会科学的创造力，甚至连孩子未来在政治、经济、管理、人际沟通等重要的现实谋生能力，都没有办法加以评估。所以，爱因斯坦在学校里被当作「智能不足」。面对这样的教育评量体系，我们凭什么从小孩子的成绩去判断她们未来的成就？更凭什么去决定谁值得栽培？

家长对小孩子的势利眼可以严重伤害孩子的成长意愿，老师对既有教育评量制度的盲点如果欠缺自觉，也可以严重压抑孩子的成长空间。每个小孩在学习过程中，各有各的困难，时而超前同班同学的进度，时而落后。当他落后时，老师对他的耐心与接纳，是他克服挫折感的重要力量来源。有时候，老师的关心与接纳甚至比反覆教诵还要紧。如果老师对他较长时间的落后没有足够的耐心，而有意无意地流露出失望的神色，甚至放弃，将有可能导致他更严重的挫折，甚至对自己的没信心与失望。

另一方面，如果一个小孩因为学习成效低，而遭到家长与老师的冷落，对比于家长与老师对成绩好的学生的钟爱，可能会让小孩自暴自弃，或者更激烈地以反社会行为来绝望地悍卫他仅存的一点点自尊。因此，称职的家长与老师，不一定要有丰富的英、数、理知识，但却要对小孩有充分的爱心。

爱心不是纵容，而是接纳每一个小孩，关心他，愿意去了解孩子个别的脾性和特质。该管教还是要管教，但即使是处罚的时候，都还有办法让小孩感到这是单一事件，不是对他个人的否定，也不妨碍家长与老师对他这个人的接纳。要做到这一点，才真正是小学老师最专业的地方。

大人多半都早已忘记自己小时候的模样，也不愿意再重新从小孩的观点去看世界，只急迫地要求小孩迁就自己的生活秩序，而不管在这过程中可能会牺牲掉小孩子那些可贵的本能和天真的禀赋，甚至会不会造成他们的冤屈，乃至于个性的扭曲。

一个好的家长或小学老师，必需要愿意（甚至乐于）重新从小孩子的观点看世界。他必需要能够体会到自己所扮演的角色，其重要性甚至于超过大学教授，然后他才可能终身不倦地，一再重覆回到小孩子的观点，去仔细观察那个早已被大人遗忘的世界，以及在那个迥然不同于成人世界的奇妙法则：儿童的天真感情，对人的态度的敏锐感受，正在被扭曲中的性情等等。

如果大学老师可以只是经师而不是人师，家长或小学教师无论如何必需是人师。大学教师可以只是一种职业，不带任何人与人的感情，但家长或小学老师的善良、热情、诚恳、活泼、开朗与接纳却是他绝不可或缺的德性。因为，小学生不是从知识去进行学习，而是从人的态度去学习。家长、小学老师和同学对他的态度，深刻地影响着学童长大后对这个世界以及他自己的态度。

国中小学生即使学得的知识有小错，以后总有机会自己去修正。知识再渊博的老师，他也不见得能懂小孩的学习过程与特性。反而是教师的人格特质，才真正深远地影响着他的教学品质。

我常鼓励我太太一个简洁而明确的教学目标：上课时看着学生的眼神，如果他们的眼睛亮起来，你就是成功的老师；如果每一双眼睛都像死鱼，黯然无光，那不是你有问题就是教材有问题。要教到学生眼睛可以亮起来，对老师是极费力的工作，和极大的挑战。它靠的是人格特质，老师的热情，对学生多样化心理的了解与想像，教师自己生命里的感动，把知识恢复为可以感动人心的场景等能力。这样子教书，老师会得到很大的鼓舞：因为她真的进入了学生的心坎。

总之，给他一个人性化的成长空间，尽可能宽阔的空间，让他做一个自自然然的小学生 ～

当我们面对两个可能的方案，而焦虑的不知何所抉择时，通常表示这两个方案或者一样好，或者一样坏，因而实际上选择哪个都一样，唯一的差别只是先后之序而已。而且，愈是让我们焦虑得厉害的，其实差别越小，愈不值得焦虑。反而真正有明显的好坏差别时，我们轻易的就知道该怎么做了。

我没有过困境，因为我从不在乎外在的得失，也不武断的和别人比高下，而只在乎自己内在真实的累积。我没有过困境，因为我确实了解到：生命是一种长期而持续的累积过程，绝不会因为单一的事件而有剧烈的起伏。

我也相信：属于我们该得的，迟早会得到；属于我们不该得的，即使一分也不可能增加。假如你可以持有相同的信念，那么人生于你也会是宽广而长远，没有什么了不得的“困境”，也没有什么好焦虑的了。

作者为清华大学动力机械工程研究所彭明辉教授（注：台湾新竹清华大学）

许多同学应该都还记得联考前夕的焦虑：差一分可能要掉好几个志愿，甚至于一生的命运从此改观！

到了大四，这种焦虑可能更强烈而复杂：到底要先当兵，就业，还是先考研究所？

我就经常碰到学生充满焦虑的问我这些问题。

可是，这些焦虑实在是莫须有的！生命是一种长期而持续的累积过程，绝不会因为单一的事件而毁了一个人的一生，也不会因为单一的事件而救了一个人的一生。属于我们该得的，迟早会得到；属于我们不该得的，即使侥幸巧取也不可能长久保有。如果我们看清这个事实，许多所谓“人生的重大抉择”就可以淡然处之，根本无需焦虑。而所谓”人生的困境”，也往往当下就变得无足挂齿。

以联考为例：

一向不被看好好的甲不小心猜对十分，而进了建国中学；一向稳上建国的乙不小心丢了二十分，而到附中。放榜日一家人志得意满，另一家人愁云惨雾，好象甲，乙两人命运从此笃定。可是，联考真的意谓着什么？建国中学最后录取的那一百人，真的有把握一定比附中前一百名前景好吗？侥幸考上的人毕竟只是侥幸考上，一时失闪的人也不会因为单一的事件而前功尽弃。一个人在联考前所累积的实力，绝不会因为放榜时的排名而有所增减。

因为，生命是一种长期而持续累积的过程！

所以，三年后乙顺利的考上台大，而甲却跑到成大去。这时回首高中联考放榜的时刻，甲有什么好得意？而乙又有什么好伤心？同样的，今天念清大电机的人当年联考分数都比今天念成大机械的高，可是谁有把握考研究所时一定比成大机械的人考的好？仔细比较甲与乙的际遇，再重新想想这句话：

生命是一种长期而持续的累积过程，不会因为一时的际遇而终止或增减，联考排名只是个表象，有何可喜，可忧，可惧？

我常和大学部同学谈生涯规划，问他们三十岁以后希望再社会上扮演什么样的角色。可是，到现在没有人真的能回答我这个问题，他们能想到的只有下一步到底是当兵还是考研究所。联考制度已经把我们对生命的延续感彻底瓦解掉，剩下的只有片段的“际遇”，更可悲的甚至只活在放榜的那个（光荣或悲哀的）时刻！

但是，容许我不厌其烦的再重复一次：生命的真相是一种长期而持续的累积过程（这是偶发的际遇无法剥夺的），而不是一时顺逆的际遇。如果我们能看清处这个事实，生命的过程就真是“功不唐捐”，没什么好贪求，也没什么好焦虑的了！剩下来，我们所需要做的无非只是想清楚自己要从人生获得什么，然后安安稳稳，诚诚恳恳的去累积就是了。

我自己就是一个活生生的例子。

从一进大学就决定不再念研究所，所以，大学四年的时间多半在念人文科学的东西。毕业后工作了几年，才决定要念研究所。硕士毕业后，立下决心：从此不再为文凭而念书。谁知道，世事难料，当了五年讲师后，我又被时势所迫，整装出国念博士。出国时，一位大学同学笑我：全班最晚念博士的都要回国了，你现在才要出去？

两年后我从剑桥回来，觉得人生际遇无常，莫此为甚：一个从大一就决定再也不钻营学位的人，竟然连硕士和博士都拿到了！属于我们该得的，哪样曾经少过？

而人生中该得与不该得的究竟有多少，我们又何曾知晓？从此我对际遇一事不能不更加淡然。

当讲师期间，有些态度较极端的学生会当面表现出他们的不屑；从剑桥回来时，却被学生当做不得了的事看待。这种表面上的大起大落，其实都是好事者之言，完全看不到事实的真相。

从表面上看来，两年就拿到剑桥博士，这好象很了不起。但是，在这“两年”之前我已经花整整一年，将研究主题有关的论文全部看完，并找出研究方向；而之前更已花三年时间做控制方面的研究，并且在国际著名的学术期刊中发表论文。

而从硕士毕业到拿博士，期间七年的时间我从不停止过研究与自修。所以，这个博士其实是累积了七年的成果，（或者，只算我花在控制学门的时间，也至少有五年），根本也没什么好惊讶的。

常人不从长期而持续的累积过程来看待生命因积蓄而有的成果，老爱在表面上以断裂而孤立的事件夸大议论，因此每每在平淡无奇的事件上强做悲喜。

可是对我来讲，每当讲师期间被学生瞧不起，以及剑桥刚回来时被同学夸大本事，都只是表象。事实是：我只在乎每天二十四小时点点滴滴的累积。

拿硕士或博士只是特定时刻里这些成果累积的外在展示而已，人生命中真实的累积从不曾因这些事件而终止或加添。

常有学生满怀忧虑的问我：

“老师，我很想先当完兵，工作一两年再考研究所。这样好吗？”

“很好，这样子有机会先用实务来印证学理，你念研究所时会比别人了解自己要的是什么。”

“可是，我怕当完兵又工作后，会失去斗志，因此考不上研究所。”

“那你就先考研究所好了。”

“可是，假如我先念研究所，我怕自己又会像念大学时一样茫然，因此念的不甘不愿的。”

“那你还是先去工作好了！”

“可是……”

我完全可以体会到他们的焦虑，可是却无法压抑住对于这种话的感慨。其实，说穿了他所需要的就是两年研究所加两年工作，以便加深知识的深广度和获取实务经验。先工作或先升学，表面上大相径庭，其实骨子里的差别根本可以忽略。

在”朝三暮四”这个成语故事里，主人原本喂养猴子的橡实是”早上三颗下午四颗”，后来改为”朝四暮三”，猴子就不高兴而坚持改回到”朝三暮四”。

其实，先工作或先升学，期间差异就有如”朝三暮四”与”朝四暮三”，原不值得计较。但是，我们经常看不到这种生命过程中长远而持续的累积，老爱将一时际遇中的小差别夸大到攸关生死的地步。

最讽刺的是：当我们面对两个可能的方案，而焦虑的不知何所抉择时，通常表示这两个方案或者一样好，或者一样坏，因而实际上选择哪个都一样，唯一的差别只是先后之序而已。而且，愈是让我们焦虑得厉害的，其实差别越小，愈不值得焦虑。反而真正有明显的好坏差别时，我们轻易的就知道该怎么做了。

可是我们却经常看不到长远的将来，短视的盯着两案短期内的得失：想选甲案，就舍不得乙案的好处；想选乙案，又舍不得甲案的好处。如果看得够远，人生常则八，九十，短则五，六十年，先做哪一件事又有什么关系？甚至当完兵又工作后，再花一整年准备研究所，又有什么了不起？

当然，有些人还是会忧虑说：“我当完兵又工作后，会不会因为家累或记忆力衰退而比较难考上研究所？”我只能这样回答：一个人考不上研究所，只有两个可能：或者他不够聪明，或者他的确够聪明。不够聪明而考不上，那也没什么好抱怨的。假如你够聪明，还考不上研究所，那只能说你的决心不够强。假如你是决心不够强，就表示你生命中还有其它的可能性，其重要程度并不下于硕士学位，而你舍不得丢下他。既然如此，考不上研究所也无须感到遗憾。不是吗？人生的路这么多，为什么要老斤斤计较着一个可能性？

我高中最要好的朋友，一生背运：高中考两次，高一念两次，大学又考两次，甚至连机车驾照都考两次。毕业后，他告诉自己：我没有人脉，也没有学历，只能靠加倍的诚恳和努力。现在，他自己拥有一家公司，年收入数千万。一个人在升学过程中不顺利，而在事业上顺利，这是常见的事。有才华的人，不会因为被名校拒绝而连带失去他的才华，只不过要另外找适合他表现的场所而已。反过来，一个人在升学过程中太顺利，也难免因而放不下身段去创业，而只能乖乖领薪水过活。

福祸如何，谁能全面知晓？我们又有什么好得意？又有什么好忧虑？人生的得与失，有时候怎么也说不清楚，有时候却再简单不过了：我们得到平日累积的成果，而失去我们不曾努力累积的！所以重要的不是和别人比成就，而是努力去做自己想做的。

功不唐捐，最后该得到的不会少你一分，不该得到的也不会多你一分。

好象是前年的时候，我在往艺术中心的路上遇到一位高中同学。他在南加大当电机系的副教授，被清华电机聘回来给短期课程。从高中时代他就很用功，以第一志愿上台大电机后，四年都拿书卷奖，相信他在专业上的研究也已卓然有成。回想高中入学时，我们两个人的智力测验成绩分居全学年第一，第二名。可是从高一我就不曾放弃自己喜欢的文学，音乐，书法，艺术和哲学，而他却始终不曾分心，因此两个人在学术上的差距只会愈来愈远。反过来说，这十几二十年我在人文领域所获得的满足，恐怕已远非他所能理解的了。

我太太问过我，如果我肯全心专注于一个研究领域，是不是至少会赶上这位同学的成就？我不这样想，两个不同性情的人，注定要走两条不同的路。不该得的东西，我们注定是得不到的，随随便便拿两个人来比，只看到他所得到的，却看不到他所失去的，这有什么意义？从高中时代开始，我就不曾仔细计算外在的得失，只安心的做自己想做的事：我不喜欢鬼混，愿意花精神把自己分内的事做好；我不能放弃对人文精神的关怀，会持续一生去探讨。事实单单纯纯的只是：

我只在乎每天二十四小时生命中真实的累积，而不在乎别人能不能看到我的成果。

有人问我，既然迟早要念博士，当年念完硕士早出国，今天是不是可以更早升教授？我从不这样想。老是斤斤计较着几年拿博士，几年升等，这实在很无聊，完全未脱离学生时代“应届考取”的稚气心态！人生长的很，值得发展的东西又多，何必在乎那三、五年？

反过来说，有些学生觉得我”多才多艺”，生活”多采多姿”，好象很值得羡慕。可是，为了兼顾理工和人文的研究，我平时要比别人多花一倍心力，这却又是大部分学生看不到，也不想学的。

有次清华电台访问我：“老师你如何面对你人生中的困境？”

我当场楞在那里，怎么样都想不出我这一生什么时候有过困境！

后来仔细回想，才发现：我不是没有过困境，而是被常人当作“困境”的境遇，我都当作一时的际遇，不曾在意过而已。

刚服完兵役时，长子已出生却还找不到工作。我曾焦虑过，却又觉得迟早会有工作，报酬也不至于低的离谱，就不曾太放在心上。念硕士期间，家计全靠太太的薪水，省吃俭用，但对我而言又算不上困境。一来，精神上我过的很充实，二来我知道这一切是为了让自己有机会转行去教书（做自己想做的事）。

三十一岁才要出国，而同学正要回系上任教，我很紧张（不知道剑桥要求的有多严），却不曾丧气。因为，我知道自己过去一直很努力，也有很满意的心得和成果，只不过别人看不到而已。

我没有过困境，因为我从不在乎外在的得失，也不武断的和别人比高下，而只在乎自己内在真实的累积。我没有过困境，因为我确实了解到：生命是一种长期而持续的累积过程，绝不会因为单一的事件而有剧烈的起伏。

同时我也相信：属于我们该得的，迟早会得到；属于我们不该得的，即使一分也不可能增加。

假如你可以持有相同的信念，那么人生于你也会是宽广而长远，没有什么了不得的“困境”，也没有什么好焦虑的了。

应朋友之邀给二到六年级的学生上了6个学时的数学课。

1. 老师讲解演示解决问题（包括但不局限于数学）的基本方法——UPSC四步法。

2. 设计制作模拟温度计。

……一个星期后

1. 讨论学习数轴、负数以及含负数的加减运算。

2. 设置制作模拟钟表。

……一个星期后

1. 讨论12进制、圆的对称性、圆的均分。

2. 讲述三国故事。从“云长引三千人马出徐州来”引出除法的意义，或拓展到三进制。

在活动之前，先向学生提出一个问题。对于年龄跨度如此大的混班，应根据不同年级的学习情况分别设计。问题的 难度不同，要求也不一样。

为什么第一课要讲UPSC四步法

UPSC四步法指将解决问题分成理解Understand、计划Plan、解题Solve、检查Check四个阶段。

四步法使学生能将一个问题分成四个部分，清楚自己处于解决问题的哪个阶段，集中注意力，条理清楚。

个人习惯将UPSC作为数学教学的“最后一课”，也就是最为重要的一课，放在第一课讲。

在对分课堂中，第一节课主要完成对问题的理解，或有涉及计划，第二节讨论课完成计划解题和检查三个阶段。 清晰地划分成四个阶段后，学生们更容易在解决问题的过程中进行合作产生默契。

Activity——活动

在以上三个课题的教学中，我使用了两个Activity。小学数学的内容多产生于生活情景，通常是从具象到数学 的抽象过程，Acitivity 使学生们能调动所有的感官亲历这个抽象过程，为他们的思想提供了丰富的素材，同时 这也是实施对分课堂第二节讨论课的基础。

课后简单的调查表明，大部分的小学生更喜欢活动类型的课。不过，有一个同学特意跟我说，他更喜欢三国故事。

“亮考帮”

• 亮闪闪。列出学习过程中自己感受最深、受益最大、最欣赏的内容。至少一条。

• 考考你。列出自己弄懂了，但是别人可能存在困惑的地方，用来挑战别人。至少3个。

• 帮帮我。列出自己不懂的问题，讨论时求助别人。至少3个。

学生们和我都是第一次学习使用“亮考帮”，特意留出了几十分钟，我先讲，然后学生各自准备，同时我来逐个 回答学生们的疑惑。

在讨论课上学生们很活跃。个人认为有以下几个因素：

1. 老师精心设计和选择活动内容。

2. 间隔一个星期（略长了些），给学生课后实验和思考的时间。

3. “亮考帮”使学生准备讨论时容易入手，有的放矢。

尤其是同学的“帮帮我”正好是其他同学的“亮闪闪”时，听的同学认真，讲的同学兴奋。

讨论分组进行，学生自己提出问题，自己解决问题，获得强烈的自我满足。老师一般不干预讨论，仔细地观察并反思 第一节课的教学上存在哪些问题。

参考

• 对分课堂

学生可以计算出分子，对分母填多少有些困惑。

直接把问题改成“梨树比桃树少（桃树的）几分之几”、“桃树比梨树多（梨树的）几分之几？”。

这种困惑可能源于汉语表达的省略方式。汉语常常需要人们推测省略的词。

多少千克减少1/5后是24千克，学生无处着手，怎么引导？

借助道具方积木。

首先让学生确定要用到（5、10、15）个方积木。

然后，拿去5份中的1份，依次问，剩下几份，剩下多少千克，每份多少千克，全部多少份，全部多少千克。

学生表示明白了，老师不要继续发问，尽量让学生自己想。

知道1+(-3)=-2，写出来却是1+(-3)=3-1+(-)。什么情况？

先理解学生的想法。

学生写“+(-)”是在3-1的计算结果上“加负号”，又注意到3-1是个算式，要加“()”。

所以，首先肯定学生的想法是对的。

然后直接告诉人们在数学上约定的表达方式是1+(-3)=-(3-1)，

注意书写顺序“3-1”、“()”、“-”。

10角×10角等于多少元？

师：角乘以角，好像没有学过类似的？

生：学过面积计算，10米×10米是100平方米。

师：什么是平方米？

生：就是单位长度为1米的正方块。

师：确定不是100米？

生：100米是线的长度，100平方米是正方块的面积。

师：我们定义过平方角吗？

生：没有啊……

不会计算“2个6的乘积是多少”？

“个”在汉语中通常是作为具体物品的量词，如六个苹果。而这里的“个”指6作为乘法因子的个数，不能理解是正常。

可以直接告诉小学生，这句话的意思是6×6。

另外，小学数学中应避免在这类问题中使用“个”，直接用平方立方代替更容易使学生与正确的具象联系起来。

几个同样的数相乘出现在初中关于“幂”的定义中。个人认为较好的定义是：

3的5次方表示，底数是3，指数是5，3自乘5次（而不是5个3相乘）。

12×3×3×3×3=36×3×3×3=108×3×3=324×3=972。

问：如何引导巧算？

答：要求学生想另外的思路检查。

问：12×81=972，如何用另外的思路检查？

答：用心算估算12×80；心算检查尾数。

为什么要先乘除后加减？

这是人为的规定。保证不同的人写出的算式大家都能看懂而且没有歧义。

辛普利西奥：我们这里先停一下。我不知道你的情况如何，不过我是真的喜欢我的中学几何课。我习惯那个 架构，也喜欢在僵硬的证明形式中做几何。

萨尔维亚蒂：我相信你是喜欢的。你可能偶尔也会做到一些不错的题目。很多人喜欢几何课（虽然更多人痛恨 它）。但是这不是支持目前制度的好理由。这反而强而有力地证实了数学本身的魅力。要完全摧毁这么美丽的事 物，是非常困难的；即使是数学还残留的影子，仍是如此吸引人并让人满足。许多人也还是喜欢按数字涂色，那 是令人放松而且有趣的动手活动，虽然那并不是真正的绘画。

辛普利西奥：可是我是在告诉你，我喜欢它。

萨尔维亚蒂：如果你还有过更自然的数学经验，你会更喜欢它。

辛普利西奥：所以，我们应该设立一些没有任何形式的数学旅程，学生遇到什么就学什么吗？

萨尔维亚蒂：正是如此。问题会引导出其他的问题，在有需要时，就会发展出技巧，新的主题就会自然地产生。 如果有些课题在求学的十三年之间都没有遇到过，它会多有趣或多重要呢？

辛普利西奥：你完全疯了。

萨尔维亚蒂：我也许是疯了。但是即使在传统的框架下工作，一位好的老师也可以引导讨论及问题的走向，使得 学生能自己发现及发明数学。真正的问题是，行政官僚制度不容许个别教师做这样的事。因为要遵循一套课程纲 要，老师无法主导教学内容。标准还有课纲都是不应该存在的。应该让老师做他们觉得对他们的学生最好的事。

辛普利西奥：但这样一来，学校怎么保证所有的学生都获得相同的基本知识？我们要如何精确地衡量他们的相对知识程度？

萨尔维亚蒂：学校不能做保证，而且我们也不用这么做。就像在真实的人生中一样，最终你必须面对一个事实， 就是人都不一样，但并没有关系。无论如何，这没有什么大不了。一个高中毕业生不知道什么是半角公式（说得 好像他们现在就了解似的！），又怎样？至少那个人对于这个科目到底是怎么回事还有些概念，而且还曾经看过 美妙的事物。

对标准课程纲要的批评，在结束的此时，我要为社会提供一项服务，就是首次完全诚实地呈现K-12数学的 课程纲要：

……

……当然学生不会得到这样的机会，他们的好奇心和兴趣立刻就会被泼了冷水：

定理 9.5

令△ABC内接于一个直径为$\overline{AC}$的半圆。

则∠ABC为直角。

证明：

还有什么比这更无聊，更不直截了当的？有什么论证能更令人困惑，更难读？这绝不是数学！一个证明应该是 神迹的显现，而不是来自五角大厦的密码讯息。这是把逻辑严谨性摆错了地方的结果：丑陋。论证的精神 被令人迷惑的形式主义给埋藏了。

没有任何数学家是这样工作的。从来没有任何数学家以这种方式工作。这是对数学这门学问完全的、彻底的误 解。数学不是在我们自己和我们的直觉之间升起屏障，也不是要让简单的事情变得复杂。数学是移除通往直觉 的障碍，以及让简单的事情维持简单。

前述令人倒胃口的证明，拿来对比我七年级学生所做的论证：

将这个三角形旋转半圆，使其成为一个圆里边的四边形，由于三角形是完全的旋转过来的，此四边形的边 必然是平行的，因此这是一个平行四边形。然而它也不是斜边四边形，因为它的两条对角线都是这个圆的 直径，因此它们是等长的，也就是说，它必然是一个长方形，这就是为什么它的角是直角。

这不是很轻松愉快吗？重点不在这项论点的点子是否比另一个高明，而是在点子的出现。（事实上，第一 个证明的点子是相当美妙的，可惜被隔上了一层深黑色的玻璃。）

更重要的是，这是学生自己的点子。在课堂上有个好题目给学生做，他们做出猜测、试着证明、然后其中 一名学生就做出了结果。当然这花了好几天功夫，而且是一连串失败后的结果。

老实说，我曾经大幅改述这个证明。最初版本有些迂回，且含有许多不必要的赘词（以及拼字和文法错误）。 但是我认为我了解他的意思。这些缺点是好事；让我这个老师有事情可做。我得以指出一些文体上和逻辑上的 问题，学生则因而得以改进他的论证。举例而言，我对于两条对角线都是直径这一点不是很满意——我不认为这 是完全显而易见的——但这只是表示需要对这文体多一点思考，以及可从中获得多一些了解。事实上，这名学生 可以把它修补得很好：

由于这个三角形绕着图形转了半圈，顶点必然正好和原来的位置处于正对面的位置。这就是为什么四边形的 对角线是圆的直径。

这就是一项伟大的作业，一个美妙的数学作品。我不确定谁对此更引以为傲，是学生还是我自己。我就是我的 学生们体验到这类的经验。

几何学的标准课程的问题在于，艺术家挣扎奋斗的个人经验，全都被消灭了。证明的艺术性，被毫无生气、形 式化的演绎法的僵硬步骤所取代了。教科书呈现出一整套定义、定理及证明，教师们照抄在黑板上，学生们照 抄在笔记簿上。然后要求学生再依样画葫芦的写习题。谁能快速学会这种模式的，就是“好”学生。

结果，在创造的行动里学生变成了被动的参与者。学生做出叙述，去符合现成的证明模式，而不是因为他们 的确这样子想。他们被训练去模仿论证，而不是去想出论证。因此，他们不只不知道老师在说些什么， 他们也不知道自己在说些什么。

即使是定义的传统表达方式，也是个谎言。为了创造出简洁的假象，在进行典型的一系列命题和定理之前，先 提供一套定义，让叙述及证明可以尽可能的简洁。表面上，这似乎是无害的：做一些化繁为简的定义，这样叙 述起来可以轻松便利，不是很好吗？问题在于，定义非常重要。定义是身为艺术家的你认为重要，而做的美学 决定。而且它是因问题而产生的。定义是要彰显出来，并让人们注意到一项特质或结构上的属性。在历史 上，这是从问题研究的过程中产生的，而不是问题的前提。

重点是，你不会从定义开始，你是从问题开始。一直到毕达哥拉斯（Pythagoras）试图测量正方形的对角线， 因而发现它无法以分数来表示，在那之前没有人想过，数可能是“无理的”（irrational）。只有在你的论证 达到某一点，你必须要做出区别来厘清时，定义才有意义。在没有动机的时候做出的定义，更可能造成 混淆。

这只是将学生排除在数学过程之外的一个例子。学生必须在有需要的时候能够做出自定的定义——自己为辩论 做架构。我不要学生说“定义、定理、证明”，我要他们说“我的定义、我的定理、我的证明”。

把这些抱怨都摆在一旁吧，这种呈现方式的真正问题在于，它很枯燥。效率和经济性并不是好的教学方法。我 很难说欧几里得（Euclid）是否赞同此点，但是我知道阿基米德（Archimedes）绝对不会赞同。

（未完待续）

我们来看看这个疯狂事迹的一些例子。我们先来看，这两条交叉的直线：

通常会做的第一件事就是不必要地加入过多符号，搅浑了这摊水。显然，我们没有办法简单地说出两条相交的 直线：必须给予名称。而不只是简单的名称，像是“第一条线”和“第二条线”，或甚至“a”和“b”。我们必须（根 据中学几何课程）在这些直线上选择随机且不相关的点，然后使用特殊的“直线符号”来表示这些直线。

你看，现在我们得称它们为$\overline{AB}$和$\overline{CD}$。然后上帝特准你可以省略掉它们顶上 的小横杠——“AB”代表直线$\overline{AB}$的长度（至少我认为是这个意思）。不管这是多么没意义的复 杂，大家都必须学习这样做。现在来看实际上的陈述，通常是以一些荒谬的名称来称呼，像是：

命题 2.1.1

令$\overline{AB}$和$\overline{CD}$相交于P。则∠APC≌∠BPD。

换言之，两侧的角度是相等的。我的天啊，两条相交的直线，它们的组成当然是对称的。然后呢，好像弄成这 样还不够糟，对于直线和角度这样显而易见的叙述，还必须要加以“证明”。

证明：

原本应该是由人以世界上的自然语言写出来的饶富机智及有趣的论证，我们却把它搞成这样沉闷、没有灵魂、 官样文章的证明。层层堆砌成山！我们的要将这么直截了当的观察，弄成这么长的论文吗？老实说：你真的有 在读它吗？当然没有。谁会要读呢？

在这么简单的是情商搞得那么隆重，结果就是让人们怀疑起自己的直觉。对于如此显而易见的事情，减持要 “严格的证明”（就像它会构成法律上正式的证据似的），就像是对学生说：“你的感觉和想法是可疑的，你必 须以我们的方式来思考和说话。”

毫无疑问，我们的确有要做数学正式证明的时候，但是当学生第一次接触到数学论证时，不应该这么做。至少 让他们熟悉一些数学主题，以及了解对这些主题能有什么期待之后，再开始正式严谨的讨论。只有在有危机的 时候————当你发现你想象的物件，它的行为违反了直觉，以及当有矛盾发生时，严格的正式证明才变得很重 要。但是这种过分的预防性保健措施，在这里是完完全全没有必要的——疾病还没发生哪！当然，如果有逻辑危 机发生的时候，那么很明显的应该要加以研究，论证必须做的清楚明白，但那个过程可疑进行得直觉一些，也 不必那么正式。事实上，数学的精髓，就是和自己的证明进行这样的对话。

所以，不是只有大部分的小孩被这个假学问完全搞迷糊了——没有什么比去证明明显的事更让人困惑了——即使那 些还保有直觉的少数人，也必须将他们优异、绝妙的点子转换置入这个荒诞难解的框架里，好让他们的老师说 它是“正确的”。老师则沾沾自喜地认为他让学生的心智变敏锐了。

再来是一个比较严肃的例子。我们来看看一个半圆里面的三角形：

这个模式的美丽真相在于，无论三角形的顶点是在圆周的哪里，它都是直角。（我不反对用“直角”(right angle)，如果这个名词与问题有关，而且方便讨论的话。我反对的不是专有名词本身，而是没有要领、没有 必要的专有名词。如果学生喜欢的话，我也很乐意用“转角”或“角落”。）

我们的直觉在这里会有些疑问。这会一直都成立吗？不是那么清楚，甚至看起来不太可能——如果我移动 那个顶点，角度不会改变吗？此处我们有一个绝妙的数学题目！这是真的吗？如果是真的，为什么是真的？这是多么伟大的作业呀！这是可以让我们的智慧和想象力动起来的一个绝佳机会！

（未完待续）

对于一位提出严厉指控的作者来说，最恼人的是，他所指控的对象却表示愿意支持他。中学里的几何课程比披 着羊皮的狼更狡猾，比假朋友更不忠。正因为学校尝试籍此课程向学生介绍论证的艺术，使得它变得如此危险。

假冒成一个竞技场，在这里学生终于要参与真正的数学推论，这个病毒击中了数学的要害，摧毁了创造性理性 论证的本质、毒害学生对这个迷迷人又美妙学科的喜爱、使他们永远都不能以自然又直觉的方式来思考数学。

这背后的机制是微妙而迂回的。它先以一堆不得要领的定义、命题、符号来惊吓且麻痹被害的学生，再又系统 地引导其进入娇柔做作的语言，以及人为的所谓“正统几何证明”公式，缓慢地、精心地阻断了学生对形状及其 模式的自然好奇心或直觉。

撇开所有的隐喻，我直白地说，整个K-12数学课程纲要当中，几何是目前为止最具心灵及情绪杀伤力的。其他 的课程可能还隐藏着美丽的小岛，或是把小鸟关在笼子里，但是几何课，则是公开的、残忍的酷刑。（显然我 还是得用到隐喻）。

问题就出在系统性地从根摧毁学生的直觉。证明，是数学论证，是一部小说，是一首诗。它的目的是在“满足” （satisfy）。一个完美的证明应当是要说明，而且应该说明得清楚、巧妙且直截了当。一份完美、制作 完善的论证，应当感觉像是醍醐灌顶，应该是指路的明灯——它应该要提振我们的精神、照亮我们的心灵，而且 应该是有趣迷人的。

但是在我们几何课上的证明却没有一丁点有趣迷人之处。呈现给学生的是僵硬、教条式的公式，由这些公式来 进行所谓的“证明”——这些公式是不必要且不适当的，就如同要求孩子们必须更具花朵的属别和种别来种花一样。

内容简介

这本薄薄的小书，用最简洁的方式描述数学之美与乐趣所在，并且批判今日僵化的数学教育（背公式、大量的习题）， 忽略了带领学生思考问题的过程。然而，正是在对数学的思考当中，人才是活著的，孩子的心智会打开，主动产生兴趣。

本书对于美国K-12（从幼稚园到十二年级）的数学教育做出了强烈的批判，然而在台湾，问题也是一样严重。 我们本来可以给孩子更好的数学体验，让他们喜欢上数学，有好奇心，这全看我们怎麽教。只要那一点点的改变。

作者简介

作者是一位杰出的数学家，他发愿来教中小学的数学，希望呈现给孩子们数学的趣味、和充满想像力的一面，因为：

数学是一门艺术，重要的是过程，是游戏，是玩，是去做。

因此他非常批判「死记硬背」、「给答案」、「省略思考过程」的教学方式。

他于2002年写成本书的初稿，只有薄薄的25页，然而在史丹佛大学的齐斯．德福林教授的推荐下，于美国数学协会（Mathematical Association of America）的网志上发布后，在数学社群中引起极大的迴响，因而出版成书。

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作者是一位杰出的数学家，他发愿来教中小学的数学，希望呈现给孩子们数学的趣味、和充满想像力的一面，因为：

数学是一门艺术，重要的是过程，是游戏，是玩，是去做。

因此他非常批判「死记硬背」、「给答案」、「省略思考过程」的教学方式。

他于2002年写成本书的初稿，只有薄薄的25页，然而在史丹佛大学的齐斯．德福林教授的推荐下， 于美国数学协会（Mathematical Association of America）的网志上发布后，在数学社群中引起极大的迴响，因而出版成书。

如何寻回数学课堂上的游戏与欢乐？如何领略数学之美？

这本书，既是为孩子抱不平，也为数学这门伟大的艺术平反。本书可带领孩子们认识数学具有创意、想像力的一面，也让成年人重新发现——数学的乐趣。

【专业推荐】

洪万生 台湾师范大学数学系退休教授

郑国威 PanSci泛科学总编辑

何琦瑜 《亲子天下》总编辑

这是我所见过，对于目前的数学教育最棒的评论之一。

——齐斯．德福林（Keith Devlin），史丹佛大学人文科学与先端科技研究中心共同创办人，《数学的语言》（商周）作者

作者写出了很重要、很平易近人的悲叹与狂喜。他哀叹的是今天数学教育的现状；而他也热切盼望老师们能得到鼓舞， 带领学生们体验数学裡头十分刺激的「概念的诗意」，而且真的是如此。

——贝利‧马祖尔（Barry Mazur ），哈佛大学校聘数学教授

本书的论述精妙，任何对数学教育有兴趣的人都应该要读。我保证他们会喜欢这个阅读经验， 不论他们是否完全同意拉克哈特所写的内容。

──布莱恩‧邦区（Bryan Bunch），《The Kingdom of Infinite Number》作者

这本关于数学的简短又中肯的小书，对你我当初学习这个科目的方法提出了强烈的抗议。 绘画只是在有数字的区块裡涂上颜色吗？落日夕阳只是一系列的光谱及方向的指示吗？拉克哈特主张， 数学不只是定义和公式。想要寻回数学课堂上的游戏和欢乐，他告诉我们，需要做的只是回复到真正的数学。

——罗伯‧克里斯（Robert P. Crease），《史上最美的十项科学实验》（脸谱）作者

《一个数学家的叹息》笔记

保罗·拉克哈特 著

高翠霜 译

http://www.blog.cbe21.com/user1/2506/archives/2015/373319.shtml

学习应该是自主的、自由的，阅读可以是愉悦的、无目的的、跨界的。

透过自由的学习、跨界的思考，让我们的人生更圆满，迈向一个互相理解、共生的社会。

在数学实在中悠游。

如果你没有兴趣探索你自己个人的想像宇宙，没有兴趣去发现和尝试了解你的发现，那么你干嘛称自己为数学教师？

数学是一门艺术！至于它和音乐绘画的差别，只在于我们的文化并不认同它是一门艺术。

没有什么像数学那样梦幻及诗意，那样基进、具破坏力和带有奇幻色彩。

数学家是理念模式的创造者。

我纯粹就是在玩。这就是数学——想知道、游戏、用自己的想像力来娱乐自己。

在游戏的情境中，人们会基于天生的好奇，而开始探索。而这无非是人类学习活动的最重要本质所在。

你不需要让数学有趣——它本来就远超过你了解的有趣！而它的骄傲就在与我们的生活完全无关。 这就是为什么它是如此有趣！

与其发明一个圆周先生（Mr.C）和面积太太（Mrs.A）的故事，不如叙说阿基米德甚至刘徽有关圆周率的探索史实， 说不定更能触动学生的好奇心灵。

学习和游戏是同一回事。

在游戏的情境中，基于人类天生的好奇心而探索模式，才是学习数学的正道。

错误：将数学当作其他理科的基础，要求绝对的精准跟正确，按照既定的公式，强调快速（为了考试）、 强调术语（为了显得专业）、强调一切大部分人在日常生活中根本使用不到的东西。

学校扼杀了创意，而且是刻意为之。

大量产出工业需求的一致性劳动力是学校教育的目标，因此教学方式必须要有效率、必须要全国一致。美其名是公平，实际上是奴役。

上篇

数学比诗、美术、或音乐容许更多的表达自由。

如果数学有一个统一的美学原则的话，那就是：简单就是美。数学家喜欢思考最简单的可能性， 而这种最简单的可能性是想像的，不见得是现实存在的。

数学家的艺术就像这样：对于我们想像的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。

拿掉创造性的过程，只留下过程的结果，保证没有能真正全心投入这个科目。

由于将焦点集中在“什么”，排除了“为什么”，数学将降格为一个空壳子。

论证的本身赋予真相一个情境，并确认到底我们在谈论什么、其意义何在。数学是说明的艺术。 如果你不让学生有机会参与这项活动——提出自己的问题、自己猜测与发现、尝试错误、经历创造性的挫折、 产生灵感、拼凑出他们的解释和证明——你就是不让他们学习数学。

文化是自我复制繁衍的怪物。

数学其实是原始的创造力和美学的感受力。

数学和任何文学作品一样，都是人类为了自己娱乐而创造出来的。

所有人都“隐约”记得代数公式和几何图形，却“清楚”记得对它们的憎恨。

数学应该被当作艺术来教的。

要抹煞学生对一门科目的热情与兴趣，最有效的方法就是把它列为必修课。把它列入标准化测验的主要科目， 就能保证让它失去生命力。

数学是理性的音乐。做数学是从事发现与猜测、直觉与灵感的活动；是进入疑惑的状态——不是因为它让你搞不懂， 而是因为你给了它意义，而你还不知道你的创造走向何处；是产生一个突破性的想法；是像艺术家一般遭遇挫折；是被几近痛苦的美丽所折服与赞叹；是感觉活着。

所有的这些“改革”最悲哀的地方是企图“要让数学变有趣”和“与孩子们的生活产生关连”。 你不需要让数学有趣——它本来就远超你了解的有趣！而它的骄傲就在与我们的生活完全无关。

代数还是跟日常生活有关，而是跟数与对称性有关。

学校里的数学，最主要的问题出在没有“问题”。

一个好的问题是你不知道“如何”解决的。这也使它成为一个好的谜题、一个好的机会。

伟大的问题、问题的历史、创意的过程——这老师完整的背景。丢给学生一个好的问题，让他们花力气去解决并学到挫折。 看看他们能得到什么。直到他们亟需一个想法时，再给他们一些技巧。但是不要给太多。

丢开你的授课计划、投影机、讨人厌的彩色教科书、光碟机、以及现代教育马戏团里所有的东西，就单纯地和学生们一起做数学吧！

数学是一个缓慢、沉思的过程。

我并不是主张数学老师必须是职业的数学家——这绝非我的意思。但是他们不是至少应该了解数学的本质、擅长数学、喜欢做数学吗？

如果数学降格到只是在做资料的转换，如果没有兴奋与惊喜之情的分享，如果老师自己都只是资讯的被动接收者， 而非新理念的创造者，那么学生们还有什么希望呢？

教学跟资讯无关，而是要和学生建立起真诚的智性关系。教学不需要方法、工具、训练。你只需要真诚。

如果你不愿意做个真诚的人，你永远敢不是个真正的老师。教学是开放与诚实，是能分享兴奋之情的能力，是对教学的热爱。

我们学习东西因为它现在吸引我们，而不是为了将来可能有用。这却正好是我们要孩子学习数学的原因。

让他们处于需要推论推理的情境。不要担心符号和技巧，协助他们成为积极主动、有创造力的数学思考家。

数学是人类为了乐趣所做出来的一种艺术形态。

数学课程表中完全没有艺术与发明、历史与哲学、背景与远景。

数学不是一种语言，它是一场探索。

大部分的数学都是和朋友在喝咖啡时做出来的、在餐巾纸上画图当中做出来的。数学是而且一直都是想法、理念， 而一个有价值的理念是远远超越符号的。超越人们选来代表这项理念的符号。

我们需要的是想法，还是符号。

科学家或工程师最有价值的技术，是能够有创意地思考和独立地思考。大家最不需要的就是被训练。

我们有了一套没有历史观点、没有主题连贯性的数学课纲，支离破碎地收集了分类的主题和技巧， 依解题程序的难易程度凑合在一起。

本来应该是发现和探索的过程，我们却用规则和规定取代了。

本来应该是很在意义的题目，可以引导出各种想法、没有界限的讨论与论辩、受到到数学中的主题统合与和谐， 可是我们却代之以无趣和重复的习题、特定题型的解题技巧，各个主题之间彼此不关联， 甚至脱离了数学概念的完整性。以至于学生和他们的老师都无法清楚理解。

考学生一些没有意义的名词定义，远比激励他们创造美妙的事物及发现事物的意义，要来得容易太多了。

我们在数学课堂上塞满了这些没有意义的专有名词，只是为数学而数学罢了。

数学是关于问题的学科，而问题必须要成为学生数学生涯中的焦点。

教学是复杂的人际关系；它不需要方法。

他们可以感觉到他们建造了心灵压碎机的齿轮，但是他们不具备可以理解或反抗制度的见识。

“事实”，就本身而言，是不存在的；每件事都是相对的及相关的。重要是是“故事”本身，而不只是结局。

问题出在系统性地从根摧毁学生的直觉。证明，是数学谁，是一部小说，是一首诗。它的目的是在“满足”（satisfy）。 一个完美的证明应该是要说明，而且应该说明得清楚、巧妙且直截了当。

在……简单的事情上搞得……隆重，结果就是让众怀疑起自己的直觉。

没有什么比去证明明显的事更让人困惑了。

几何学的标准课程的问题在于，艺术家挣扎奋斗的个人经验，全都被消灭了。 证明的艺术性，被毫无生气、形式化的演绎法的僵硬步骤所取代了。

在创造的行动里学生变成了被动的参与者。

只有在你的谁达到了某一点，你必须要做出区别来厘清时，定义才有意义。

效率和经济性并不是好的教学方法。

下篇

学校教育的目的从来都不在培养学生的思考力和创造力。学校只是训练小孩表现，然后可以根据表现将这些小孩分门别类。

你要做的是去探索一个非常特别及特定的地方——一个名为“数学实境”的地方。

首先，忘记那些符号——它们不重要。名字从来都不是重要的。

在数学上，唯一重要的是事物本身，更重要的是，它们是如何动作的。

它们是应我们的要求而生的。

如果一套模式既有趣又有吸引力，那就是好的模式（如果这表示你必须要为一个新构想绞尽脑汁，那就更好）。

使用数学，我唯一感兴趣的是用数学来度过美好的时光，以及帮别人也做到这一点。

数学不是“真相”的集合（无论真相有多么有用或有趣）。数学是理由与了解。

观察和发现是一回事，但是说明是另一回事。

证明传达的不仅是个讯息，也是天启。

首先，请注意一旦我知道为什么某件事是恒真的，那么我们就知道它是真的。证明，是我们以有限的方法，去捕捉无限数量的资讯。

艺术还是名词的集合，而是动词——甚至是生活方式（或至少是解闷、逃避的一种手段）。

数学不过是心理上的自我满足？制作出想像的模式和结构，然后研究它们并尝试为它们行为做出漂亮的说明。

数学不需要乏味的勤奋或技术上的借口。它超越所有的世俗考量。数学的价值在于它是好玩、有趣，并带给我们很大的欢乐。

数学的结构与其说是我们设计和建造的，还不如说是我们的证明所设计和建造的。

数学问题就是这样产生的——出版真诚而有意外收获的探索。

我要给你的唯一实用忠告就是：游戏就对了！做数学不需要证照。

你的教学应该是从你自己的丛林中的体验很自然地涌出来，而不是出自那些在紧闭窗户车厢里的假游客观点。

如果你没有兴趣探索你自己个人想像的宇宙，没有兴趣去发现和尝试了解你的发现，那么你干嘛称自己为数学教师？

传统的教育是要学生去理解老师，可是，学生如何天然具备了理解老师的水平和能力呢？ 传统的教育回答不了这个问题，人们常将其归因于“天分”等未知的因素。 其实，仔细想想不难发现——这是一个悖论。

那么，换一个角度去看这个问题如何？例如，让老师去理解学生，分析学生之数学发展的共同规律， 以解决数学问题作饵，在共同解题的过程中，在恰当的时机，以恰当的方式，进行适度的干预， 或推动或引导学生或激发学生，以学生发现自我、塑造出自己的数学灵魂为目的。这，难吗？ 不是难，而是很难——冰冻三尺非一日之寒。不过，它却是自洽的。