数学就是挑战
喜欢数学，就是要直面挑战。在上一秒钟，我们在碰壁中、在问题陷阱中挣扎，茫然不知所措，下一秒，忽然间就云开雾散，生活再次充满了阳光。
要相信自己，不要去顾虑别人是否嘲笑我们摔倒的样子。不断地尝试新的想法，制造错误，从错误中学习。
不仅仅我们如此，历史上所有的数学家都是如此。由直觉和经验产生猜想，验证，发现错误，再予以纠正、完善。 但数学家们在演示讲解他们的算法时，原始的创造过程消失了，人们只能见到雕琢过地完美地那一面。 很多数学老师在教学中也是这么做的。
其实，学习数学、解决数学问题的真相就是：
Try again! Fail again! Fail better!
原题
求$\sqrt{2004\cdot 2005\cdot 2006 \cdot 2007+1}$的值。（不能用计算器）
理解 / 探究（Understand / Explore）
做计算题之前，如果可能，就在心里先估算，先估后算，心中有数：
$\quad\sqrt{2004\cdot 2005\cdot 2006 \cdot 2007+1}$
$\approx \sqrt{2005\cdot 2005\cdot 2006 \cdot 2006}$
$=2005\cdot 2006$
用计算器只能算出近似值。直接笔算？太繁琐太花时间。所以，还是静下心来，准备挑战吧。
思路1（Plan）
直觉：用代数试试。
解题1（Solve）
设 n=2005，$\sqrt{(n-1)\cdot n\cdot (n+1)\cdot (n+2)+1}$ …
失败！继续尝试。
设 n=2006，$\sqrt{(n-2)\cdot (n-1)\cdot n\cdot (n+1)+1}$ …
又失败了！再试。
设 n=2007，$\sqrt{(n-3)\cdot (n-2)\cdot (n+1)\cdot n+1}$ …
太失败了。再试最后一次！还不行的话，就换思路。
设 n=2004，
$\quad\sqrt{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)+1}$
$=\sqrt{(n+1)\cdot (n+2)\cdot n\cdot (n+3)+1}$
$=\sqrt{(n^2+3n+2)(n^2+3n)+1}$
$=\sqrt{(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1}$
$=\sqrt{(n^2+3n+1)}$
$=n^2+3n+1$
实际上第二步美化了一下。第一次算的时候没那么“聪明”。
以下略去若干行。
检查1（Check）
略 …
思路2（Plan）
经验：用试算法。
解题2（Solve）
估算的时候发现，其结果是个二次式。假设原题可以化简成二次式：
$\quad\sqrt{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)+1}$
$=an^2+bn+c$
分别设n=0, n=1, n=2 得：
$\therefore \quad a=1, b= 3, c=1$
$\quad\sqrt{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)+1}$
$=n^2+3n+1$
检查2（Check）
对吗？检查中我们发现，所有的计算都依赖于一个假设：原题可以化简成二次式。
如果这个假设不成立，后面所有的过程都失去了意义，因此，必须要用另外的方法检查。分别计算：
${n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)+1}$
与
$(n^2+3n+1)^2$
结果正确。而且，这时我们似乎可以发现跟解法 1 的巧妙算法之间存在某种联系。