教学分析
让我们从一道考试题说起：
如果一个三角形的其中两条边的长度分别是30厘米、40厘米，那么第三条边的长度可能是（ ）
A. 80厘米 B. 70厘米 C. 50厘米
正确的答案应当是 C。选 C 的同学一般有以下几种判断的依据：
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老师讲过这道题，或者做过类似的问题，但不知道为什么。
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记得书上写过，或者来自于自己的生活经验，三角形两边长大于第三条边。
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考试的时候，用尺规画图得出的结论。
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考试的时候，回忆起曾经画图的过程。
回答错误的学生事后说：在思考的时候，脑子一片空白，怎么也想不到刚刚学过的“三角形两边长大于第三条边”。
学生在做题的时候为什么联系不到曾经学过的知识点？问题出在哪里呢？我猜测可能出在教学上。 原来是老师先讲，然后给学生演示，给学生留下的印象不深刻。于是，我重新组织了教学过程。
复习
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请同学们准备好铅笔、白纸、量角器、三角板和圆规。（这些应作为小学高年级数学学习的常备物品，让学生们养成习惯，保证随时能使用。）
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请同学们画：一边长为3CM，一边长为6CM，夹角为30°的三角形。
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请同学们画：一边长为6CM，一端的夹角为30°，另一端的夹角为60°的三角形。
主要目的是让同学们预热，先熟悉作图的方法，复习量角器的使用。建议先画好的同学给其他同学以帮助。
第一个问题
请同学们画：三条边长度分别为 3CM、4CM、5CM 的三角形。
这一个问题对同学们来说是一个挑战。标准的画法是：
但我不讲给同学们听，而是先看看同学们是如何利用已有的知识和技能来解决这个问题的。
同学： 我听说过“勾三股四弦五”，这可能是一个直角三角形。
于是同学尝试利用三角板的直角来画，经过测量检查以后发现三条边的长度都符合要求。 这部分同学先做完，老师可以安排他们帮助其他同学。
有的同学对此表示质疑，而另外采用了试算法：
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先画一条线段 AB，通常选最长的线段，例如 5CM 。
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根据直觉画另一条边 AC，假设是 4CM 的这一条边。
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连接端点，得到第三条边 BC，测量长度是否为 3CM。
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根据测量的长度与 3CM 的差距，重新画。此时应建议学生不要用橡皮擦掉原来的线段，至少要保留顶点。
经过多次尝试，白纸上留下了一系列的点。老师可以在黑板上或者拿一张白纸，跟同学们进行同样的试算。 然后，老师和同学用不同颜色的笔给这些试算中产生的点做明显的标记。像这样：
同学： 这些点好像在一个圆上。
老师此时应当鼓励学生验证这个猜想－－把这个圆画出来。
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先启发学生回忆圆的定义。
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确定圆心。
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确定半径。
老师： 这些点真的在一个圆。那么，这是巧合吗？回忆一下我们刚才的作图过程，在我们画第二条边 AC 时， 一个端点始终跟第一条边的端点重合，长度也保持不变。 因此，顶点 C 与第一条边的端点 A 的距离始终为 4CM，有很多这样的顶点，形成形成了一个“轨迹”，这个“轨迹”就是圆。
老师： 那么，有没有同学以另一个端点为起点，先画 3CM 的圆呢？我们把两张草图叠加在一起，使第一条边重合，就有了一张新图：
老师： 两个圆产生了两个交点。这两个交点既在 ⊙A 上，也在 ⊙ B 上。距离 A 点 4CM，距离 B 点 3CM。
同学： 正好是我们要找的三角形的顶点。
老师： 请所有的同学用我们新找到的方法重新画一次三角形，三条边的长度分别为 3CM、4CM、5CM。 画好以后再测量一下，看看这是不是个直角三角形。
第二组问题
老师： 请同学们画。
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三条边长度分别为 1CM、4CM、5CM 的三角形。
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三条边长度分别为 1CM、3CM、5CM 的三角形。
同学： 画不出来，两个圆无法相交。
老师： 是的。老师也画不出来。这就是这堂课我们要学习的内容，“三角形两边长大于第三条边”。 实际上，在数学里边，两点之间最短的连线是直线。 AB 是直线，经过了 C 点打了一个“折”，也就是我们生活中长说的，绕远了。
课程结束。
课后反思
几何的产生，一方面来自于一部分人群对形的自然偏好，一方面是尺规作图的经验积累。 因此，学习几何，可以考虑采用合作学习的方式，让学生中对形的理解有特别偏好的，发挥其作用。 在课堂学习中则要注意尺规作图，安排出专门的时间段让学生亲自动手。
老师先讲，效率看起来高了一些，但对于一部分完全听懂的孩子来说，老师的思维局限同样也成为了这些孩子的局限。 还有一部分学生则知其然不知其所以然。对于那些没有听进去没有听懂的孩子来说，则留下了难以弥补缺憾。
说到“深刻印象”，总是让我想起大学里流传的一个笑话，说：“物理系的师兄们都拿着刻刀在磁盘上划…” 根据经验，我们知道，要使一个人对知识产生深刻的印象，跟其产生知识的过程有关。 是否主动参与？是否有兴趣？是否有足够的强度？是否持续足够长的时间？
课后反复复习和作业可以起到一定的作用。但反复复习存在相当大的副作用，容易使学生厌倦，反感， 降低孩子的兴趣，孩子敷衍了事等等。 关键在于，这种教学顺序的安排违背人类认知的基本规律，即实践－认知－实践。即使孩子掌握了知识，也无法掌握认知基本的规律。
荷兰数学教育家，弗赖登塔尔，在《作为教育任务的数学》中指出数学教育是数学再创造的过程。 即在老师的引导下让学生们重新创造出数学的理论。这些理论是有选择的，按照数学历史发展的过程循序渐进的发展。
在老师预先设定的情景中，学生自动地展开实践的过程，主动进入问题情景。 在尝试利用已有的技能解决问题的过程中，新的问题自然产生，促使学生观察、猜测、尝试、验证，合作学习，最后归纳出数学知识。 改进后的教学正是一个关于“三角形两边长度的和大于第三边”的，以学生为本的数学再创造过程， 学生的主动性、自信心以及数学的能力都得到了提高。