黄金数是无理数还是有理数？

黄金数列的规律

在前面的课程中，我们找到了黄金数列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…

生：每一个都是两项的和？

师：是的。但这说的还不够精确。

大家讨论后，一致同意这样来描述： 每一项都是前两项的和 。

师：如果我们用 $n_i$ 表示第 i 项的数字，也就是说：

那么，如何用算式来表达 “每一项都是前两项的和” 呢？

$ n_3 = n_2 + n_1 $

$ n_4 = n_3 + n_2 $

$ n_5 = n_4 + n_3 $

…

请同学们提出自己的猜想，然后跟同学们一起逐个验证猜想，直到找到正确的算式。例如：

$n_i = n_{i-1} + n_{i-2},\quad i > 2$

或 $n_{i+1} = n_{i} + n_{i-1},\quad i > 1$

或 $n_{i+2} = n_{i+1} + n_{i},\quad i > 0$

这是数学家们喜欢去做的事情－－试图用最简单的符号来准确地表达规律。

黄金数

还有数学家做过如下的计算：

生：都是0.618。

师：这就是我们前面曾经讲过的黄金数。

生：黄金数是有理数还是无理数呢？

生：黄金数真的存在吗？

生：继续往下计算就知道了嘛。

老师和同学继续一起计算。

生：这样要算到什么时候啊。

生：算一辈子都算不出来。

师：看来要想一些别的办法了。

日取其半

师：还记得六年级研究过的一个故事吗？“小明家就剩一个苹果了。本来想一次吃完，后来 …”

生：我来讲。后来他只吃了一半，把另一半放在冰箱里边，第二天只吃了一半的一半，第三天吃了一半的一半 … 万世不竭。

生：小明肯定有一把锋利的小刀。

生：小明家有一个好冰箱。

生：小明家真穷啊。

师：好。我们把小明家的冰箱里剩的苹果加起来，像这样：

$S = \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{32}+\cfrac{1}{64}+\cdots ＋ \cfrac{1}{2^n}$

生：我猜等于1。还是一个苹果嘛。

生：我来做。

$\cfrac{1}{2}=1-\cfrac{1}{2}$

$\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4}$

$\cfrac{1}{8}=\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{8}$

$\cfrac{1}{16}=\cfrac{1}{8}-\cfrac{1}{16}$

$\cfrac{1}{32}=\cfrac{1}{32}-\cfrac{1}{64}$

…

$S=1-\cfrac{1}{2^n}$

生：我也来试试：

$\cfrac{1}{2}＝\cfrac{1}{2}$

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}＝\cfrac{3}{4}$

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}$

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}＝\cfrac{15}{16}$

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{32}＝\cfrac{31}{32}$

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{32}+\cfrac{1}{64}＝\cfrac{63}{64}$

…

$S=\cfrac{2^n-1}{2^n}$

师：当n越来越大的时候，$\cfrac{1}{2^n}$ 就越来越小趋近于0，写成：

当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\cfrac{1}{2^n} \rightarrow 0$，

$\therefore \quad 1-\cfrac{1}{2^n} \rightarrow 1,\qquad S \rightarrow 1 $

从这个求解的过程可以看出来，要解决类似的问题，一个个算肯定是不行的，必须要找到特点或者性质，利用它们才可能求解。

解方程求黄金数

生：上次讨论的时候我就发现了。好像：$\cfrac{前项}{后项}=0.618，\quad \cfrac{后项}{前项}=1.618$。

师：好，那么我们假设黄金数为 x，看看能不能列出方程式？

请同学们提出自己的猜想，然后跟同学们一起逐个验证猜想，直到找到正确的算式。例如：

$x=1+\cfrac{1}{x}$

或 $x(1+x)=1$

最后得到方程式：

$x^2+x-1=0$

生：不能因式分解啊，没法求根？

师：是的，无法因式分解。我可以给你们一些提示，做个填空题吧？

$[x + (\qquad)]^2 - [\qquad] - 1= 0$

$[x + (\qquad)]^2 - (\qquad)^2 = 0$

$[x + (\qquad)][x - (\qquad)] = 0$

解：略。

检查：略。

最后给大家出一道思考题，能新的方法求以下方程式的根吗？

$ax^2+bx+c=0$

有兴趣的同学不妨把整个探究的过程写成数学报告。