小学数学教育中的验算

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关于小学生的数学学习是否要验算存在争议，很长一段时间我都在思考这个问题，验算在数学教育中的作用是什么？ 它是必须的吗？小学生们如何看待验算？老师应当在何时以何种方式引入验算？

什么是验算？

笛卡尔曾经在《谈谈方法》（《谈谈正确引导理性在各门科学上寻找真理的方法》）一书中提到：

我那时对数学有特殊的爱好，为了它的推理具有精确和明证的特长。 但是我当时还不会确实了解数学的真正用途，而以为它仅在机械技术的发展上有其贡献。 我惊奇着：为何人类在如此坚强稳固的数学基础上，没有建造出更高的层楼。 另一方面，我常把古代伦理学家的著作，比作专以沙泥为根基的瑰宫琼殿： 它们列举美德之名，颂扬为大地上无可伦匹的无上珍品，然而并没有给我们留下一个衡量德性的充足标准； 而且其中所称为美德者，往往不过是无情，或骄傲，或失望，甚至杀亲的行为而已。

……

为了这些原故，我那时才决心寻找一种新的方法，可以包括以上三种科学（逻辑学、解析几何、代数学）的长处，而没有它们的缺点。

……

  • 第一条，在不清楚明白知道某件事为真之前，就绝对不要接受它。 换言之，即谨慎地避免卤莽和偏见，并除了那呈现在我的理性之中既极清晰明了， 而又毫无怀疑余地的事物之外，不作任何其它的判断。

  • 第二条，要把每一项在审察中的困难，尽问题所许可地划分成若干部分，好达到充分的解决。

  • 第三条，要按次序引导我的思想，由最简单和最容易明了的事物着手，渐渐地和逐步地达到最复杂之事的知识， 甚至在那些本质上原无先后次序的事物，也为假定排列层次。

  • 最后，在每一种研究上，枚举事实要那么周全，而且审查要那么普遍，但可确实地知道没有任何遗漏。

我把笛卡尔的这四条规则归纳成简单的句子：

  • 第一条，质疑一切

  • 第二条，分繁为简

  • 第三条，循序渐进

  • 第四条，检查反思

在这篇文章中，我们将主要用到第一和第四条，即质疑一切与检查反思。

说到“检查”，在新中国成长起来的学生往往对这个词的回忆不那么美好。 “检查书”、“在全班做检查”、“在学校做检查”，声声在耳； 面露难色到声泪俱下，以及随之被惩罚的场面，历历在目。 似乎现在的小学生的待遇稍好一些，但也似乎不是美好的回忆。

上海曲阳三小数学教师叶丽雯提倡“让学生不仅会做题还要会验算”，用“验算”代替“检查”，表面上看， 似乎“换汤不换药”，却体现了叶老师对小学生心理的把握以及对数学教育的深刻理解。

经常跟小学生、小学生家长和小学老师打交道。提倡过家长回炉学习小学数学，带孩子学习。 为此，针对小学数学的具体案例写了不少“教案”。但后来发现，这种方法对家长的要求太高。 不管写的有多详细，家长就算依葫芦画瓢，实践中还是会走样。“教案”源于我对数学的理解， 我讲出来，家长听，家长再讲，孩子再听，经过了若干理解翻译的环节，每个环节都可能发生变异， 最后的效果……难以预料。

于是，我试图尽量减少中间的环节，希望孩子能够直接接触和感受到数学的本源。但是学生能否理解呢？ 能否正确理解呢？

逃避思想的自由

根据我对小学生的了解分析，他们遇到的主要问题是没有自主判断对错的习惯和能力。

可能是受中国传统教育观念的影响，不少老师在替孩子决策，替孩子判断，替孩子学习，替孩子生活， 无形中控制着孩子的行为和思想。久而久之，孩子不敢猜想，不敢尝试，逃避责任，逃避思想的自由。

家长也存在类似的问题，甚至更为普遍。老师要求家长检查作业签字，家长就替孩子检查，指出错的地方让孩子改。 孩子习惯了，觉得检查是妈妈的工作。

其实，孩子不快乐，因为他们被老师和家长——成人们——束缚了，被剥夺了尝试的机会、创造的机会、犯错后发现错误 改正错误品尝成功喜悦的机会。做数学作业成了任务、负担，作业中的错误为老师家长“批评我”、“惩罚我”提供了根据…… 太无聊了。

儿子：“爸爸，9乘9等于几？”

我：“92！”

儿子：“不对吧？”

我：“怎么不对？”

儿子：“$9\times 9=9 \times (10-1)=90-9=81$，对，应该是81？！”

我：“你知道了还问我？你记不住，就想办法验算呗。”

小学生可以摆棋子摆方积木验算，乘除法用加减法验算，加减法用数数验算。 如果搞不清楚四则运算，可以自己编故事来“验算”。应用题可以用结果代入用实验验算。 验算的方法很多，但要小学生自己亲自“作业”，亲自寻找，才能找到。有时还要“验算”验算方法的速度和准确性。 如果老师或者家长代劳，学生就学不到这些。如同现代人的牙齿不如北京猿人发达，因为我们吃的食品被加工过了， 咀嚼的工作被代替了，咀嚼的功能也就退化了。

初中生的自主学习与验算的习惯

说到谈到自主学习的问题，老师说：“自主学习经常把简单问题复杂化，很多自主学习来的经验是负面的， 如$(xy)^2=x^2\cdot y^2$,依此学生类比到了$(x+y)^2=x^2+y^2$，后面要纠正，要花大量的时间。”

这是一个好问题。如果学生自己预先没有上过课，难免会瞎想，会想偏想错。让学生自学《论语》，恐怕不行。 把背“四书五经”理解成“背四十五斤”而不自知，反而贻误了课堂学习。但数学不同，数学有其“独门秘技”——质疑一切和 检查反思，数学教育则引导学生养成学生验算的习惯。让一个人从错误的开始，经历数学的学习过程获得正确的结果。 数学学习是不必担心开始理解上的偏差，因为偏差可以得到纠正。

反过来说，也不能把数学书当成《三字经》、《道德经》读。没有质疑，没有独立的思考，没有独立的判断， 或者只看书不作业，或者只作业不验算，不关心结果是否正确……发现不了自己理解上的偏差。

老师说：“只要初中生的家庭作业中有验算的习惯，一般的考试成绩就不会低于90分。”这里，我们不讨论中考， 因为它是选拔性质的考试，要另外说。在一般的考试中，低于90分的试卷有哪些问题？概念含糊不清，知识不全面， 技能不熟练等等。这些问题其实都反映的是一个事实，数学学得不准确、不全面。也就是说，平时不亲自检查作业。 没有独立判断的习惯和独立思考的能力。

冰冻三尺非一日之寒，初中生要进入自主学习的状态，要在小学阶段养成的验算习惯。

参考资料


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