中学几何：邪恶的工具（三）

摘自《一位数学家的叹息》保罗.拉克哈特

……当然学生不会得到这样的机会，他们的好奇心和兴趣立刻就会被泼了冷水：

定理 9.5

令△ABC内接于一个直径为$\overline{AC}$的半圆。

则∠ABC为直角。

证明：

还有什么比这更无聊，更不直截了当的？有什么论证能更令人困惑，更难读？这绝不是数学！一个证明应该是 神迹的显现，而不是来自五角大厦的密码讯息。这是把逻辑严谨性摆错了地方的结果：丑陋。论证的精神 被令人迷惑的形式主义给埋藏了。

没有任何数学家是这样工作的。从来没有任何数学家以这种方式工作。这是对数学这门学问完全的、彻底的误 解。数学不是在我们自己和我们的直觉之间升起屏障，也不是要让简单的事情变得复杂。数学是移除通往直觉 的障碍，以及让简单的事情维持简单。

前述令人倒胃口的证明，拿来对比我七年级学生所做的论证：

将这个三角形旋转半圆，使其成为一个圆里边的四边形，由于三角形是完全的旋转过来的，此四边形的边 必然是平行的，因此这是一个平行四边形。然而它也不是斜边四边形，因为它的两条对角线都是这个圆的 直径，因此它们是等长的，也就是说，它必然是一个长方形，这就是为什么它的角是直角。

这不是很轻松愉快吗？重点不在这项论点的点子是否比另一个高明，而是在点子的出现。（事实上，第一 个证明的点子是相当美妙的，可惜被隔上了一层深黑色的玻璃。）

更重要的是，这是学生自己的点子。在课堂上有个好题目给学生做，他们做出猜测、试着证明、然后其中 一名学生就做出了结果。当然这花了好几天功夫，而且是一连串失败后的结果。

老实说，我曾经大幅改述这个证明。最初版本有些迂回，且含有许多不必要的赘词（以及拼字和文法错误）。 但是我认为我了解他的意思。这些缺点是好事；让我这个老师有事情可做。我得以指出一些文体上和逻辑上的 问题，学生则因而得以改进他的论证。举例而言，我对于两条对角线都是直径这一点不是很满意——我不认为这 是完全显而易见的——但这只是表示需要对这文体多一点思考，以及可从中获得多一些了解。事实上，这名学生 可以把它修补得很好：

由于这个三角形绕着图形转了半圈，顶点必然正好和原来的位置处于正对面的位置。这就是为什么四边形的 对角线是圆的直径。

这就是一项伟大的作业，一个美妙的数学作品。我不确定谁对此更引以为傲，是学生还是我自己。我就是我的 学生们体验到这类的经验。

几何学的标准课程的问题在于，艺术家挣扎奋斗的个人经验，全都被消灭了。证明的艺术性，被毫无生气、形 式化的演绎法的僵硬步骤所取代了。教科书呈现出一整套定义、定理及证明，教师们照抄在黑板上，学生们照 抄在笔记簿上。然后要求学生再依样画葫芦的写习题。谁能快速学会这种模式的，就是“好”学生。

结果，在创造的行动里学生变成了被动的参与者。学生做出叙述，去符合现成的证明模式，而不是因为他们 的确这样子想。他们被训练去模仿论证，而不是去想出论证。因此，他们不只不知道老师在说些什么， 他们也不知道自己在说些什么。

即使是定义的传统表达方式，也是个谎言。为了创造出简洁的假象，在进行典型的一系列命题和定理之前，先 提供一套定义，让叙述及证明可以尽可能的简洁。表面上，这似乎是无害的：做一些化繁为简的定义，这样叙 述起来可以轻松便利，不是很好吗？问题在于，定义非常重要。定义是身为艺术家的你认为重要，而做的美学 决定。而且它是因问题而产生的。定义是要彰显出来，并让人们注意到一项特质或结构上的属性。在历史 上，这是从问题研究的过程中产生的，而不是问题的前提。

重点是，你不会从定义开始，你是从问题开始。一直到毕达哥拉斯（Pythagoras）试图测量正方形的对角线， 因而发现它无法以分数来表示，在那之前没有人想过，数可能是“无理的”（irrational）。只有在你的论证 达到某一点，你必须要做出区别来厘清时，定义才有意义。在没有动机的时候做出的定义，更可能造成 混淆。

这只是将学生排除在数学过程之外的一个例子。学生必须在有需要的时候能够做出自定的定义——自己为辩论 做架构。我不要学生说“定义、定理、证明”，我要他们说“我的定义、我的定理、我的证明”。

把这些抱怨都摆在一旁吧，这种呈现方式的真正问题在于，它很枯燥。效率和经济性并不是好的教学方法。我 很难说欧几里得（Euclid）是否赞同此点，但是我知道阿基米德（Archimedes）绝对不会赞同。

（未完待续）